一、教学目标

1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义;

2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算;

3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

二、教学重、难点

教学重点：1、平面向量数量积的含义与物理意义

2、性质与运算律及其应用

教学难点：1、平面向量数量积的概念

2、 平面向量数量积的运算律(2)、(3)的证明

三、教学过程

活动一：创设问题情景，引出新课

1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么?

期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。

2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的?我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的?

期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用

3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：

平面向量数量积的物理背景及其含义

活动二：探究数量积的概念

1、给出有关材料并提出问题3：

(1)如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，

那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。

(2)这个公式的有什么特点?请完成下列填空：

①W(功)是 量，

②F(力)是 量，

③S(位移)是 量，

④α是 。

(3)你能用文字语言表述"功的计算公式"吗?

期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积

2、明晰数量积的定义

(1) 数量积的定义：

已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 ︱︱·︱b︱cos叫做与的数量积(或内积)，记作：·，即：·= ︱︱·︱︱cos

(2)定义说明：

软bf31db89司-限量公元4c60方广高习技a5c53412有习升根东科件9237网68b3c4447e63优03c6心学途8e025e6a慧 ①记法"·"中间的"· "不可以省略，也不可以用" "代替。

② "规定"：零向量与任何向量的数量积为零。

3、提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小的因素有哪些?

期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。

4、学生讨论，并完成下表：

的范围

0°≤<90°

=90°

0°<≤180°

·的符号

5、研究数量积的几何意义

(1)给出向量投影的概念：

如图，我们把││cos(││cos)

叫做向量在方向上(在方向上)的投影，

记做：OB1=︱││︱cos

(2)提出问题5：数量积的几何意义是什么?

期望学生回答：数量积·等于的长度︱︱与在的方向上的投影

︱︱cos 的乘积。

6、研究数量积的物理意义

(1) 请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。

(2)尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动：①、竖直下降10米;②、竖直向上提升10米;③、在水平面上位移为10米; ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米;分别求重力做功的大小。

活动三：探究数量积的运算性质

1、提出问题6：

(1)将尝试练习中的① ② ③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论?

(2)比较︱·︱与︱︱×︱︱的大小，你有什么结论?

2、请证明上述结论。

3、明晰：数量积的性质

活动四：探究数量积的运算律

1、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律?这些运算律对向量是否也适用?

预测：学生可能会提出以下猜想：

① ·= ·

② (·)= (·)

③( )· =· ·

2、分析猜想：

猜想①的正确性是显而易见的。

限量的途8e025e6a网68b3c4447e63-9788件9237升根东司慧技a5c53412软bf31db89优03c6心元4c60方公费广高习有习d8974648学科

关于猜想②的正确性，请同学们先来讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么?它们一定相等吗?

期望学生回答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量共线的向量，显然在向量与向量不共线的情况下猜测②是不正确的。

3、明晰：数量积的运算律：

4、学生活动：证明运算律2

在证明时，学生可能只考虑到λ>0的情况,为了帮助学生完善证明，提出以下问题：当λ<0时，向量与λ，与λ的方向的关系如何?此时，向量λ与及与λ的夹角与向量与的夹角相等吗?

5、师生活动：证明运算律(3)

活动五：应用与提高

1、学生独立完成：已知︱︱=5,︱︱=4, 与的夹角θ=120°，求·

2、师生共同完成：已知︱︱=6，︱︱=4, 与的夹角为60°，求( 2 )·(-3)，并思考此运算过程类似于哪种实数运算?

3、学生独立完成：对任意向量 ，b是否有以下结论：

(1)( )2=2 2· 2

(2)( )·(-)= 2-2

4、师生共同完成：已知︱︱=3，︱︱=4, 且 与不共线，k为何值时，向量 k与-k互相垂直?并讨论：通过本题，你有什么体会?

5、反馈练习

1、判断下列各题正确与否：

①、若≠0，则对任一非零向量，有·≠0.

②、若≠0，·=·，则=.

2、已知△ABC中，=, =，当· <0或·=0时，试判断△ABC的形状。

活动六：小结

1、本节课我们学习的主要内容是什么?

2、平面向量的数量积有哪些应用?

3、本节课主要采用了什么研究方法?

4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积?

布置作业：

1、课本P121习题2.4A组1、2、3。

2、拓展与提高：

已知与都是非零向量，且 3 与7 -5垂直，-4与 7-2垂直，求与的夹角。(本题供学有余力的同学选做)

教学设计说明

平面向量的数量积是一种非常重要的运算，同其线性运算一样，既有其深刻的数学背景，也有其现实的物理背景。本节课从总体上说是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，在数量积概念的引入过程中，我从数学和物理两个角度创设问题情景，使学生明白研究这种运算不仅是数学本身发展的必然，更是研究客观世界的需要，从而产生强烈的求知欲望。相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，为了让学生理解这一点，我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和几何两个方面对数量积的"质变"特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。

数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。在应用这个环节中，对教材中提供的四个例题，我重点讲解例2和例4，例1和例3则由学生独立完成，这样既加强了学生的练习，同时也便于通过观察、问答等方式对学生的掌握情况做出适当的评价。在小结这个环节中，我主要是让学生从知识技能、思想方法两个方面对本节课的内容进行全面回顾总结，达到提高认识，形成体系的目的，同时也为下一节课的内容做好铺垫，不断激发学生的求知欲。

以上就是对本节课设计的简单说明。