（ 2017年高考全国I卷 ）

18.(12分)

有途上优费升东35dbf187科bc99广慧36a9技软44e1限上元件是b834学上司-公0d96782f网 如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD;

(2)若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.

答案

(1)见解析;(2)

解析

(1)由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.

由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD.

又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.

(2)在平面内作，垂足为，

由(1)可知，平面，故，可得平面.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.

由(1)及已知可得，，，.

所以，，，.

设是平面的法向量，则即可取.

设是平面的法向量，则即可取.

则，所以二面角的余弦值为.

考查方向

(1)面面垂直的证明;(2)二面角平面角的求解

解题思路

根据题设可以得出AB⊥AP，CD⊥PD，而AB//CD，就可证明出AB⊥平面PAD，进而证明平面PAB⊥平面PAD;(2)先找出AD中点，找出相互垂直的线，建立空间直角坐标系，列出所需要的点坐标，求出平面PCB，平面PAB的法向量，利用数量积求出二面角的平面角的余弦值

易错点

坐标法求两个半平面的法向量