21.已知函数=e^x(e^x−a)−a²x.

(1)讨论的单调性;

(2)若，求a的取值范围.

答案

(1)见解析(2)

解析

(1)函数的定义域为，，

①若，则，在单调递增.

②若，则由得.

当时，;当时，，故在单调递减，在单调递增.

③若，则由得.

当时，;当时，，故在单调递减，在单调递增.

(2)①若，则，所以.

②若，则由(1)得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时，.

③若，则由(1)得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时.

综上，的取值范围为.

考查方向

本题考查了导数和函数的单调性和函数最值的关系，以及分类讨论的思想，考查了运算能力和化归能力，属于中档题

解题思路

(1)先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断，

(2)根据(1)的结论，分别求出函数的最小值，即可求出a的范围.

易错点

一个函数在某个区间上单调增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大(小)于0仅为该函数在此区间上单调增(减)的充分条件