20.(12分)

设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.

(1)求点P的轨迹方程;

(2)设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.

答案

(1)   (2)见解析

解析

(1)设

由知

即

又点在椭圆上，则有

即

(2)设，则有

即

设椭圆右焦点又

∴

∴过点且垂直于的直线过的左焦点.

考查方向

(1)直接法求轨迹方程;(2)圆锥曲线的定点、定值问题

解题思路

(1)设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程，(2)设，由题意得出，再=0，所以，得出结论.

易错点

直线过定点问题