19.(12分)

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD.

(1)证明：平面ACD⊥平面ABC;

(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

答案

(1)证明略;(2).

解析

(1)由题设可得，，从而.

又是直角三角形，所以.

取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.

又由于是正三角形，故.

所以为二面角的平面角.

在中，.

又，所以，故.

所以平面ACD⊥平面ABC.

(2)由题设及(1)知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则.

由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.

故.

设是平面DAE的法向量，则

即

可取.

设是平面AEC的法向量，则

同理可取.

则.

所以二面角D-AE-C的余弦值为.

考查方向

直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质\二面角的求法

解题思路

(1)利用题意证二面角的平面角为90º，则可得面面垂直;(2)利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用公式二面角的夹角公式可求得二面的余弦值

易错点

求两个半平面的法向量