已知椭圆E：
的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点
在椭圆E上。
（1）.求椭圆E的方程;
（2）.设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳·︳MB︳=︳MC︳·︳MD︳
(1)答案
;
解析
(1)由已知，a=2b.
又椭圆
过点
，故
，解得
.
所以椭圆E的方程是
.
考查方向
本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆(圆锥曲线)的交点问题时，一般都设交点坐标为，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得，再把用表示出来，并代入刚才的，这种方法是解析几何中的“设而不求”法.可减少计算量，简化解题过程
解题思路
由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是正三角形的三个顶点可得
，椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用
在椭圆上，可解出b的值，从而得到椭圆的标准方程;
易错点
本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆(圆锥曲线)的交点问题，联立化简易出错。
(2)答案
设直线
的方程为
，
由方程组
得
判别式为
，由
，即
，解得
由根与系数的关系可得
所以
点的坐标为
，直线
的方程为
联立可得
得
、
所以
.
又
.
所以
.
解析
(2)设直线的方程为，
由方程组得
判别式为，由，即，解得
由根与系数的关系可得
所以点的坐标为，直线的方程为
联立可得得、
所以.
又
.
所以.
考查方向
本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆(圆锥曲线)的交点问题时，一般都设交点坐标为，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得，再把用表示出来，并代入刚才的，这种方法是解析几何中的“设而不求”法.可减少计算量，简化解题过程
解题思路
(2)首先设出直线
方程为
，同时设交点
，把
方程与椭圆方程联立后消去
得
的二次方程，利用根与系数关系，得
，由
求得
(用
表示)，由
方程
具体地得出
坐标，也可计算出
，从而证得相等.
易错点
本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆(圆锥曲线)的交点问题，联立化简易出错。
考察知识点
椭圆的定义及标准方程