所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。

1. 换元法

换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.

例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos²x, 求f(x)

解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u≤2),则f(u)=-u2+3u+1 (0≤u≤2)

故f(x)=-x²+3x+1 (0≤u≤2)

3.待定系数法

如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。

例4.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x²-4x,求f(x).

解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax²+bx+c (a≠0)

代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x²-2x-1.

4.赋值法

有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。

例6.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b都满足f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求f(0)，f(1)的值;

(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;

(3)若f(2)=2,u_n=f(2ⁿ) (n∈N*),求证:u_n+1>u_n (n∈N*).

解:(1)令a=b=0,得f(0)=0,令a=b=1,得f(1)=0.

(2)f(x)是奇函数.因为:令a=b=-1,得f[(-1)(-1)]=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0,

故f(-x)=f[(-1)(x)]= -f(x)+xf(-1)= -f(x),故f(x)为奇函数.

(3)先用数学归纳法证明:u_n=f(2ⁿ)>0 (n∈N*)(略)

5.转化法

通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便.

例7.设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)

在[-3，3]上的最大值和最小值.

解:令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数.

设x ₁ <x ₂ ,则x ₂ -x ₁ >0 ,由已知得f(x₂-x₁)<0,故f(x₂)=f(x₂-x₁+x₁)=f(x₂-x₁)+f(x₁)< f(x₁).

所以f(x)是R上的减函数,又f(3)=f(1)+f(2)=-6,f(-3)=6.

故f(x)在[-3,3]上的最大值为6,最小值为-6.

例8.定义在R+上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(xm)=mf(x); ②f(2)=1.

(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立;

(2)证明f(x)是R+上的单调增函数;

(3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围.

解:(1)令x=2^m,y=2ⁿ,其中m,n为实数,则f(xy)=f(2^m+n)=(m+n)f(2)=m+n.

又f(x)+f(y)=f(2^m)+f(2ⁿ)=mf(2)+nf(2)=m+n,

所以f(xy)=f(x)+f(y)

故f(x1)<f(x2),即f(x)是R+上的增函数.

(3)由f(x)+f(x-3)≤2及f(x)的性质,得f[x(x-3)]≤2f(2)=f(2)

解得：3<x≤4.

6.递推法

对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.

例9.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:①f(n)>0,n∈N;②f(n₁+n₂)=f(n₁)f(n₂),n₁,n₂∈N*;

③f(2)=4同时成立?若存在,求出函数f(x)的解析式;若不存在，说明理由.

解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2. 又f(2)=4=2²,f(3)=2³,…,由此猜想:f(x)=2^x (x∈N*) (数学归纳证明 略)

例10.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.

解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1.

所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+(x-1)+5,g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+(x-1)+1 即g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x).

所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1),故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1,故g(2002)=1.

7.模型法

模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。