（ 2017年高考全国I卷 ）

21.已知函数=e^x(e^x?a)?a²x.

元优4f9d32a1慧升eca8b31c科点422d司限1baa网智件fb1e97c6费途9373技术-西学有上公东广软

(1)讨论的单调性;

(2)若，求a的取值范围.

答案

(1)见解析(2)

解析

(1)函数的定义域为，，

①若，则，在单调递增.

②若，则由得.

软4cb9元限1baa费司984e广公网智费-西优4f9d32a1科点422d升eca8b31c东根47a2有上途9373技术慧ebc8学件fb1e97c6费

当时，;当时，，故在单调递减，在单调递增.

③若，则由得.

当时，;当时，，故在单调递减，在单调递增.

(2)①若，则，所以.

②若，则由(1)得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时，.

软4cb9方途9373元限1baa费af8ff48a网智费科点422da227a4e9根有上a76a-西慧ebc8件fb1e97c6费广4987司984e东根47a2公技术点学习优4f9d32a1升eca8b31c ③若，则由(1)得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时.

综上，的取值范围为.

考查方向

本题考查了导数和函数的单调性和函数最值的关系，以及分类讨论的思想，考查了运算能力和化归能力，属于中档题

解题思路

(1)先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断，

-西元广4987秀软4cb9方高高限1baa费af8ff48a件fb1e97c6费优4f9d32a14aee8b6043d8公科点422da227a4e9根心司984e慧ebc8技术点bdfa西智网智费4a948cde升eca8b31c途9373东根47a2有上a76a8485学习

(2)根据(1)的结论，分别求出函数的最小值，即可求出a的范围.

易错点

一个函数在某个区间上单调增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大(小)于0仅为该函数在此区间上单调增(减)的充分条件