21.已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E与A，M两点，点N在E上，.

(I)当时，求的面积

(II) 当时，证明：.

答案

(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析.

解析

(Ⅰ)先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积;(Ⅱ)设，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.

试题解析：(Ⅰ)设，则由题意知.

由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为，又，因此直线的方程为.

将代入得，解得或，所以.

因此的面积.

(2)将直线的方程代入得.

由得，故.

由题设，直线的方程为，故同理可得.

由得，即.

设，则是的零点，，所以在单调递增，又，因此在有唯一的零点，且零点在内，所以.

考查方向

椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，导数应用，零点存在性定理。

解题思路

(I)判断三角形ADM为等腰直角三角形，表示M坐标，并求解，然后求面积(II)直线AM，AN是过同一点互相垂直的直线，先用直线AM与椭圆相交，直曲联立求出M点横坐标，从而表示,同理表示，然后代入2构造函数用导数研究单调性，并用零点存在性定理。

易错点

构造函数用导数研究单调性，并用零点存在性定理

考察知识点

椭圆的定义及标准方程