结论1、过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A()、B()两点，设，O为原点，则有：

(1);(2);(3);(4)。

结论2、直线l交抛物线于A()、B()两点，O为原点。若OA⊥OB，则直线l经过定点(2p，0)，，反之亦然。

例1、过抛物线的焦点F，作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别是p、q，则等于( )

A. 2a

B.

C. 4a

D.

解：将抛物线方程，化为y，从而由结论1中的(4)知，本题正确答案应选C。

例2、设抛物线E为，AB和CD为过焦点F的弦。求证：(1);(2)以AB与CD为直径的两圆的公共弦必过原点。

证明：(1)由结论1中的(3)知。

(2)设A()、B()、C()、D()，

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则以AB为直径的圆的方程为，

以CD为直径的圆的方程为

两式相减并整理得公共弦方程：

由结论1中的(1)(2)知：

则公共弦方程中常数项为0，故公共弦必过原点。

例3、设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴。证明：直线AC经过原点O。

证明：设A()、B()，由结论1中的(2)知

∵BC//x轴，且点C在抛物线的准线上，

∴点C的坐标为

则直线AC经过原点O。

例4、已知抛物线，动直线l交抛物线于两点A()、B()，且，O为原点，O在l上的射影为H。

(1)求点H的轨迹方程。

(2)设过A、B、O三点的圆的圆心为C，直线l的倾斜角的范围为，求直线OC的斜率的取值范围。

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解：(1)因为，

由结论2知：直线l经过定点M(0，2p)。

由OH⊥l，得

设H(x，y)，则

∴所求点H的轨迹方程为：

(2)因为，由结论2知：OA⊥OB，则圆心C为AB的中点，

故可设直线l方程为：，

代入抛物线方程消去y得

由中点坐标公式，求得C(pk，)，

则

又由题设知：，从而求得