20. 设抛物线，点，，过点A的直线l与C交于M，N两点.

(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程;

(2)证明：.

【答案】(1) y=或.

元西科4775升公d9eb4c16有途广限优学网慧件司技东-软 (2)见解析.

【解析】分析：(1)首先根据l与x轴垂直，且过点，求得直线l的方程为x=1，代入抛物线方程求得点M的坐标为（2,2）或（2,-2），利用两点式求得直线BM的方程;

(2)分直线l与x轴垂直、l与x轴不垂直两种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.

详解：(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为(2，2)或(2，–2).

所以直线BM的方程为y=或.

(2)当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN.

当l与x轴不垂直时，设l的方程为，M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，则x₁>0，x₂>0.

由得ky²–2y–4k=0，可知y₁+y₂=，y₁y₂=–4.

直线BM，BN的斜率之和为

件44cc1acf上科4775术元西学软慧途001d优31f4公d9eb4c16网-高学术东4469广高eae2有升技司8c3e限.①

将，及y₁+y₂，y₁y₂的表达式代入①式分子，可得

.

所以k_BM+k_BN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM+∠ABN.

综上，∠ABM=∠ABN.

点睛：该题考查的是有关直线与抛物线的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与抛物线相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.