一、设而不求的整体处理

在求抛物线方程时，常会遇到两曲线的交点及相关点的问题，若设而不求，整体处理，可求解。

例1、过抛物线y²=x上一点A(4，2)，作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率为定值。

解析：设B()，C()，则，，，。

由题意，得，，则。

故为定值。

二、点差法

在抛物线中，直线与抛物线相交弦的中点问题是个重点。其解法多种多样，点差法是解题方法之一。

例2、给定抛物线y²=x，过点B(2，4)能否作直线l，使l与抛物线y²=x交于两点，且点B是线段的中点?这样的直线如果存在，求出它的方程;如果不存在，说明理由。

解析：设,，代入抛物线方程得。两式相减并分解因式，得：

广软有方-智cb716abd法件限升公司元慧5194东法学1b0f876f习技48b8途a12ba249优网科

∵B(2，4)是的中点，

，代入上式得，即。

若直线l存在，则方程为，即x-8y+30=0。

将x-8y+30=0代入抛物线方程得，y²-8y+30=0。

因为其判别式△<0，故此直线与抛物线不相交，这样的直线不存在。

三、韦达定理

抛物线中涉及到弦长、弦中点、曲线与直线交点以及原点为垂足的垂直问题，运用韦达定理可避免求交点坐标。

例3、直线l：y=kx+1交抛物线y=x²于A、B两点，当△AOB(O为原点)的面积为2时，求实数k的值。

分析：因直线l与y轴的交点为M(0，1)，而△AOB的面积等于△AOM和△BOM的面积之和，若△AOM和△BOM都以OM为底边，这样△AOB面积就与A、B两点的坐标相联系。

解析：设A()，B()，则

广-智cb716abd法ab01cd8e优慧5194科学术件限方途a12ba249软习升b8f0ae35有方径东法d3ba712e司公根b62141dd学1b0f876f习根84c6网452d技48b8元

即

把y=kx+1代入y=x²中得，x²-kx-1=0。因此，。代入上式得，解得。

四、常数代换，化成齐次方程

抛物线弦的两端点与原点连线的斜率问题，化为齐次方程，过程简洁。

例4、抛物线与过点M(0，-1)的直线l相交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA与OB的斜率之和为1，求直线l的方程。

分析：用常规方法去解，相当麻烦。但若把直线方程设出来，用含有x、y的式子来表示常数项，代入到抛物线方程中，可得一个关于x、y的齐次方程，运用韦达定理即可解决问题。

解析：设直线l的方程为y=kx-1，即1=kx-y，代换抛物线方程2y+x²=0中的系数1，得2y（kx-y）+x²=0，整理得关于x，y的齐次方程2y²-2kxy-x²=0。方程两边同时除以x²，得，显然是该方程的两根。

由条件可知，k=1。故直线l的方程是y=x-1。