一、用椭圆模型求最值问题
例1、求函数
的最值。
解析：设
则
所给函数可化为以u为参数的直线方程y=-x+u，它与椭圆
在第一象限的部分(包括端点)有公共点，如图1所示。
图1
当直线与椭圆相切时，u取最大值，
由△=0，得
由题意知
二、用椭圆模型求值域问题
例2、求
的值域。
解析：令
则
表示相对应的椭圆的上半部分，令z=x+y
问题转化为椭圆
上半部分的一点
，求z=x+y的最值
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令
，
∴
即
的值域为
三、用椭圆模型解证不等式问题
例3、设a>b>0，求证
证明：构造椭圆
如图2所示，设
则不等式的左端即为椭圆上A、B间的距离，易知
恒成立
网学上4f23公西41c04f36习软途4845技-法学f4f4术限4635习秀837d494c科c0e8心4fa2a903根有4974径东广4336慧9f8b司47a4量326d法件心优388d升元
图2
四、用椭圆模型求轨迹方程
例4、如图3所示，△ABC的周长为6，|AB|=2。
(1)以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，求以A、B为焦点且过点C的椭圆方程;
(2)设M是(1)中椭圆上与A、B不共线的任意一点，△AMB的内心(三条内角平分线的交点)为点P，求点P的轨迹方程。
图3
解析：(1)
升软习件心司47a4量326d法有4974径cb4d26fa上东公西41c04f36习dc238bd2技优388d慧9f8b限4635习秀837d494c-法学f4f4术高广4336科c0e8心4fa2a903根学上4f23网元1ac0d8a3途4845
又
故所求的椭圆方程是
(2)如图3所示，设
、
，因为P是△AMB的内心，由内角平分线性质定理，可知
故
由椭圆的第一定义知
又
则
由
及椭圆性质知
，
由
知点P分线段MN的比
由定比分点公式知
代入
得点P的轨迹方程为
。