18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点
，焦点
，圆O的直径为
.
技法软上广是东4ee9-adac490b元升8cba慧d080969f科e593fa62优智司公法dadddf60学有方网b7f4件限途
(1)求椭圆C及圆O的方程;
(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标;
②直线l与椭圆C交于A,B两点.若
的面积为
，求直线l的方程.
【答案】(1)椭圆C的方程为
;圆O的方程为
(2)①点P的坐标为
;②直线l的方程为
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【解析】分析：(1)根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程;(2)第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.
详解：解：(1)因为椭圆C的焦点为
，
可设椭圆C的方程为
.又点
在椭圆C上，
所以
，解得
因此，椭圆C的方程为
.
因为圆O的直径为
，所以其方程为
.
(2)①设直线l与圆O相切于
，则
，
所以直线l的方程为
，即
.
由
，消去y，得
.(*)
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以
.
因为
，所以
.
因此，点P的坐标为
.
②因为三角形OAB的面积为
，所以
，从而
.
设
，
由(*)得
，
所以
.
因为
，
广是优智径高有方是8849东4ee9网b7f46fe648b4上限的西元3ae84bd2bc1a205aabc1点件47fa术技法46ca学西b7f47921点5277b177公法dadddf60方慧d080969f习20cc5702学的7c6f6db9升8cbaba51ce46途9ca0上22df9189软上径西d811537d科e593fa62b159司8fbc-adac490ba0ab7db8术
所以
，即
，
解得
舍去)，则
，因此P的坐标为
.
综上，直线l的方程为
.
点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解;二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.