2018年高考全国II卷(文数)-立体几何

2018年11月26日 浏览:
2018年高考全国II卷

19. 如图,在三棱锥中,,O为AC的中点.

(1)证明:平面ABC;

(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.



【答案】解:

(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=.

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连结OB.因为AB=BC=,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB==2.

知,OP⊥OB.

由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.

(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.

故CH的长为点C到平面POM的距离.

由题设可知OC==2,CM==,∠ACB=45°.

所以OM=,CH==.

所以点C到平面POM的距离为.

【解析】分析:(1)连接OB,欲证平面ABC,只需证明即可;(2)过点C作,垂足为M,只需论证CH的长即为所求,再利用平面几何知识求解即可.

详解:(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=.

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连结OB.因为AB=BC=,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB==2.

知,OP⊥OB.

由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.

(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.

故CH的长为点C到平面POM的距离.

由题设可知OC==2,CM==,∠ACB=45°.

所以OM=,CH==.

所以点C到平面POM的距离为.

点睛:立体几何解答题在高考中难度低于解析几何,属于易得分题,第一问多以线面的证明为主,解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明;本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解,也可利用等体积法解决.