(
2018年高考全国II卷
)
,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=
=2.
,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=
=2.
19. 如图,在三棱锥中,
,
,O为AC的中点.
(1)证明:平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.
【答案】解:
(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=.
学慧软有升公科优件网途技a5fb司限广的东元b212-
连结OB.因为AB=BC=
由知,OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.
(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知OC==2,CM=
=
,∠ACB=45°.
所以OM=,CH=
=
.
所以点C到平面POM的距离为.
【解析】分析:(1)连接OB,欲证平面ABC,只需证明
即可;(2)过点C作
,垂足为M,只需论证CH的长即为所求,再利用平面几何知识求解即可.
详解:(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=.
司途a880623b公广的优升限科点的件-东技a5fb5352有径元b2124f8e软学53f0网慧
连结OB.因为AB=BC=
由知,OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.
(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知OC==2,CM=
=
,∠ACB=45°.
所以OM=,CH=
=
.
所以点C到平面POM的距离为.
点睛:立体几何解答题在高考中难度低于解析几何,属于易得分题,第一问多以线面的证明为主,解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明;本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解,也可利用等体积法解决.