21. 已知函数.

(1)设x=2是的极值点.求a，并求的单调区间;

(2)证明：当时，.

【答案】(1) a=;f(x)在(0，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增.

升e116科有软方9b12东4f7d限高学4b1e-优根高网687a件慧公4dfa司广心途学技元 (2)证明见解析.

【解析】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′(2)=0，求得a=，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间;

(2)结合指数函数的值域，可以确定当a≥时，f(x)≥，之后构造新函数g(x)=，利用导数研究函数的单调性，从而求得g(x)≥g(1)=0，利用不等式的传递性，证得结果.

详解：(1)f(x)的定义域为，f ′(x)=ae^x–.

由题设知，f ′(2)=0，所以a=.

从而f(x)=，f ′(x)=.

当0<x<2时，f ′(x)<0;当x>2时，f ′(x)>0.

所以f(x)在(0，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增.

(2)当a≥时，f(x)≥.

设g(x)=，则

-e3f46bb7慧优根高软方9b122b90df87科学件途学网687a学4b1e有元技943d法广心司东4f7d升e116公4dfa限高

当0<x<1时，g′(x)<0;当x>1时，g′(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.

故当x>0时，g(x)≥g(1)=0.

因此，当时，.

点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.