19.(本小题14分)

已知椭圆C的两个顶点分别为A(?2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5.

答案

(1)     (2)详见解析

解析

(1)设椭圆的方程为

由题意可得

解得

所以椭圆的方程为

(2)设，则.

由题设知，且.

直线的斜率，故直线的斜率.

所以直线的方程为.

直线的方程为.

联立

解得点的纵坐标.

由点在椭圆上，得.

所以.

又，，

所以与的面积之比为.

考查方向

(1)主要考查椭圆的标准方程.

(2)主要考查直线与椭圆的综合问题.

解题思路

(1)根据条件确定三个参数之间的关系，求出，进一步求出椭圆方程.

(2)将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合三角形的面积公式，即可求出结果.

易错点

(1)根据条件确定三个参数时易出现错误.

(2)易在利用韦达定理计算时出现错误.