设是椭圆上一点，r₁和r₂分别是点M与点的距离。求证，其中e是离心率。

椭圆上任一点M与焦点F₁或F₂的距离r_1、r₂，叫做椭圆的焦半径，也称r₁为左焦半径，r₂为右焦半径。

解法1：由椭圆的定义有：

故只要设法用等表示出(或)，问题就可迎刃而解。

由题意知，

两式相减得

联立<1>、<2>解得：

解法2：设焦点

则，即

另有

<2>÷<1>得：

学广优途-高网升公90227e3a件司限元72cc软东科慧有技 <1>、<3>联立解得：

解法3：推敲的沟通渠道，应从消除差异做起，根式中理应代换。

由点M在椭圆上，易知

则

由，知

故

同理

解法4：椭圆的第二定义为求焦半径r₁铺设了沟通的桥梁。

如图，作椭圆的左准线，作MH⊥于H点

则

即

同理可求得：

例1、在椭圆上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直。

技升公90227e3a学司法3913元72cc件软7587d5de776a量网途有量限习优西东7e8c2317慧49e7广-高科 解析：设所求点

由得：

又

即

解得：

代入椭圆方程得：

故所求点M为(3，4)，或(3，-4)，或(-3，4)，或(-3，-4)。

例2、点P是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，又点P在x轴上方，为椭圆的右焦点，直线的斜率为，求的面积。

解析：设点P的横坐标为x，

由条件，得：

依题意得：

所以

由得：

公90227e3a051675dc元72cc是东7e8c2317网-高技限习优西升司法3913广软7587d5de776a量有量b6589914件科心学途慧49e7

故