已知正方体ABCD-的棱长为1，求异面直线A₁D与AC的距离。

一、直接利用定义求解

作出异面直线的公垂线段。

如图1，取AD中点M，连MD₁、MB分别交A₁D、AC于E、F，连BD₁，由平面几何知识，易证，，，则。

由，得A₁D⊥平面ABD₁，则，同理AC⊥BD₁，所以，EF⊥A₁D，EF⊥AC，即EF为异面直线A₁D与AC的距离，故有EF=。

二、转化为线面距离求解

将线线距离问题转化为线面距离问题来解。

如图2，连A₁C₁、C₁D，则AC∥平面A₁C₁D。设AC、BD交于O，A₁C₁、B₁D₁交于O₁，连O₁D，作OE⊥O₁D于E，由A₁C₁⊥平面BB₁D₁D知，故OE⊥平面A₁C₁D。

所以OE为异面直线A₁D与AC的距离。

在△OO₁D中，，则。

所以异面直线A₁D与AC的距离为。

三、转化为面面距离求解

将线线距离问题转化为面面距离问题来解。

如图3，连AB₁、CB₁、A₁C₁、DC₁、BD₁，易知平面，则异面直线A₁D与AC的距离就是平面A₁C₁D与平面ACB₁的距离，易证BD₁⊥平面ACB₁、BD₁⊥平面A₁C₁D，且BD₁被平面ACB₁和平面A₁C₁D三等分，又。

所以异面直线A₁D与AC的距离为。

四、构造函数求解

选取恰当的自变量构造函数，即可利用函数的最小值求得异面直线间的距离。

如图4，在A₁D上任取一点E，作EM⊥AD于M，再作MF⊥AC于F，连EF，则∠EMF=。

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设MD=x，则ME=x，AM=1-x，在中，∠FAM=，则

所以，

当且仅当时，EF取最小值。

所以异面直线A₁D与AC的距离为。

五、利用体积变换求解

将异面直线的距离转化为锥体的高，然后利用体积公式求之。

如图5，连AB₁、B₁C、B₁D，则A₁D∥平面AB₁C，设异面直线A₁D与AC的距离为h，则D到平面AB₁C的距离也为h。

易知。

由，

得。

所以，则。

所以异面直线A₁D与AC的距离为。

六、利用向量求解

如图6，AB为异面直线a、b的公垂线段，为直线AB的方向向量，E、F分别为直线上a、b的任意一点，则。

图6

证明：显然。

所以，

所以，

所以，即，

所以。

把上述结论作为公式来用，即可巧妙地求出某些问题中的异面直线间的距离。

建立如图7所示的空间直角坐标系，易知，=(-1，1，0)，(-1，0，0)。

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设异面直线A₁D、AC的公垂线的方向向量为，由，，得

解得故可取。

所以异面直线A₁D与AC的距离为。