一、曲线定义法

我们可以利用椭圆的定义()或双曲线的定义解求得所需结果。

例1、椭圆上一点P与两个焦点的张角∠，求证：△F₁PF₂的面积为。

图1

证明：

①式平方与②式作差得：

所以

二、特征图象法

利用椭圆或双曲线中a、b、c构成的特征三角形解决问题。

1、如图2，椭圆中，特征△OF2B2，其三边长分别为a、b、c，(e(0，1))。

图2

2、如图3，双曲线中，特征，其三边长分别为a、b、c，(e)。利用这种方法我们可以解决下面这类问题。

图3

例2、已知双曲线的离心率是2，求它的两条渐近线的夹角。

解：，

所以

所以夹角为。

三、正弦定理法

如果中出现两个角，可以考虑应用正弦定理。

例3、已知椭圆上一点P及两焦点，若，，试求椭圆的离心率。

图4

解：由正弦定理有，

即

所以

四、余弦定理法

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如果在中仅知一个角，我们经常要联想到余弦定理解决问题。

例4、已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P，∠，且△的面积为，双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程。

图5

解：设双曲线的方程为，，。在△PF₁F₂中，由余弦定理，得

即

又因为

所以

所以

所以

即

又因为

所以

所以所求双曲线方程为。

五、到角公式法

有时角不是特殊角，用余弦定理比较复杂，可以考虑利用直线到的角的公式来解。

例5、若椭圆上有一点Q，到长轴两端点A、B所成的张角∠AQB=120°，试求离心率e的取值范围。

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图6

解：因为椭圆是关于x轴对称的图形，所以不妨设点Q在x轴上方，

即

则，

所以

所以

因为

所以。

六、曲线交轨法

通过几何图形，找出适合题意的途径解决问题。

例6、椭圆的焦点为，点P为其上一个动点，当∠F₁PF₂为钝角时，求点P的横坐标的取值范围。

解：以为直径的圆上的点为Q时，，于是P在以为直径的圆的内部，同时P在椭圆上。易知以为直径的圆的方程为。

由

解得

-习4f81上99dc的0ca3司智4962得47a682a6限得92fcc518心量923b92a7点元得术软5e3e上4061广29a91df2是是途学4d73优60da法东c46f智技高法升量网80eb1240公47c357fa5e0da984有术科424e件慧c0b943fe 即点Q横坐标为。

所以点P横坐标取值范围是。

七、平面向量法

利用以下结论，在中

图7

1.∠F₁PF₂为锐角;

2.∠F₁PF₂为直角;

3.∠F₁PF₂为钝角。

有关角的问题可以用向量形式表示，再来求解。

例7、已知曲线C的方程为，A(-1，0)，B(1，0)，过点B的直线l与曲线C交于M，N两点，若∠MAN为钝角，求直线l的倾斜角为的取值范围。

解：(1)若l⊥x轴，则l的方程为

，

(不合题意)。

(2)若l与x轴重合，则∠MAN=π(不合题意)。

(3)若l与x轴、y轴不垂直，设，代入曲线C的方程得

所以

因为∠MAN为钝角，所以

所以，

所以。

所以倾斜角的范围是：