性质一：抛物线标准方程 中变量x的范围x≥0

例1、对于抛物线上任一点Q，点P(a,0)都满足，则a的取值范围是( )

A.a<0

B.a2

C.0a2

D.0<a<2

分析：本题可先设出点Q的坐标()，再表示出|PQ|，然后利用的范围及恒成立的充要条件解答。

对于圆锥曲线的标准方程的变量范围的应用，一般是通过变量范围构造不等式求解。本题用到了一个充要条件：恒成立，则。

解析：设Q()，由，得，结合，得()≥0。

因为，所以，即恒成立。

又由最小值为2，即，故选B。

性质二：抛物线的标准方程为 ，它的通径 。

例2、过抛物线(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与QF的长分别是p、q，则等于( )

A.2a

B.

C.4a

件有优慧学限学技途是软90a2网升485e径东-4650元科智公a435广司

D.

分析：若按常规思路需分别求出PF与QF的长，其过程较为繁琐，解答选择题时此法不可取。注意到直线PQ的任意性及选择题的特点，将直线PQ考虑为抛物线的通径，则可快速解答。

某些题中虽然没有直接以“通径”的形式给出，但通过对条件的分析，可以转化为“通径”，再利用“通径”求解，可简化解题的过程。

解析：因为直线PQ是任意的，所以取最特殊的情况考虑：直线PQ垂直x轴时(也就是“通径”)。此时，则，故选C。

性质三：过焦点F的直线与抛物线 (p>0)交于A( )，B( )，则弦长 ;若直线的倾斜角为θ，则 。

例3、过抛物线的焦点作倾斜角为α的直线与抛物线交于A、B两点，且|AB|=8，求倾斜角α的大小。

解答直线与抛物线的弦长一定要保证直线与抛物线相交，而本题由于直线过的是抛物线的焦点(在抛物线内)，直线一定与抛物线相交，因此就不必再用判别式来限制了。

分析：用弦长公式比较容易解，但是用上面的性质三则更为简单。

解析：设直线l的方程为，即

将代入抛物线方程，得：

由得，即，解得

又由，得

性质四：过抛物线 (p>0)的顶点任作两条互相垂直的弦OA、OB，则直线AB恒过定点( ，0)。

例4、设点A和B为抛物线(p>0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

科智优根公a435件4ac3东升485e径5211广有途是元方限网技-4650学上司924d软90a21a60b63d的慧学 分析：抓住条件OA⊥OB，并利用性质四可得直线AB过定点N(4p，0)，再由OM⊥AB，结合直线的斜率建立只含有变量x与y的关系，即可得到点M的轨迹方程。

本题涉及一个易错点，即容易忽视直线AB与x轴垂直的情况。解答直线与圆锥曲线的位置关系问题时，一定要考虑直线斜率不存在的情形。

解析：由性质四得OA⊥OB，可知AB过定点N(4p，0)。于是设M(x，y)，当AB与x轴不垂直时，由可知，即，当AB⊥x轴时，点M与点N重合，方程也满足。

∴点M的轨迹方程是，它表示以点(2p，0)为圆心，半径长为2p的圆(去掉坐标原点)。