（ 2017年高考天津卷 ）

20.(本小题满分14分)已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为.

(I)求椭圆的离心率;

(II)设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线

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间的距离为，四边形的面积为.

(i)求直线的斜率;

(ii)求椭圆的方程.

答案

(1)

(2)(ⅰ)      (ⅱ)

解析

(I)设椭圆的离心率为e,由已知，可得，又由，可得

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即，又因，解得，所以，椭圆的离心率为

(II)(i)依题意，设直线的方程为，则直线FP的斜率为

由(I)知，，可得直线AE的方程为，即，与直线FP的方程联立，可解得，即点Q的坐标为.

由已知|FQ|=，有，整理得，所以，即直线FP的斜率为.

由，可得，故椭圆方程可以表示为

由(i)得直线FP的方程为，与椭圆方程联立，消去y,整理得

，解得(舍去)，或，因此可得点P,进而可得,所以,由已知,线段PQ的长即为PM与这两条平行直线间的距离，故直线和都垂直于直线.

因为，所以，所以的面积为，同理的面积等于，由四边形的面积为，得，整理得，又由，得.

所以，椭圆的方程为.

考查方向

本题考查了椭圆定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题.

解题思路

(I)根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程;

(II)根据已知条件，结合圆锥曲线的性质，求解答案

易错点

解决直线与圆锥曲线位置关系时，常规的方法是设出直线方程，然后与圆锥曲线方程联立，转化为方程的根与系数间的关系问题求解，因此应注意以下几个问题①所设直线的斜率是否存在，②消元后的方程是否为一元二次方程，③一元二次方程是否有实根