结论1：在椭圆上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和坐标原点连线的斜率之积为定值(注：若椭圆焦点在y轴上时，即b>a>0，则定值为)。

证明：设原点为O，A()，B()是椭圆上的任意不同的两点，P()是弦AB中点。

，

由以上几式可得：。可转化为，即。

结论2：双曲线上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和坐标原点连线的斜率之积为定值(注：若双曲线为焦点在y轴上的形式，则定值为)。

证明：设原点为O，A()，B()是双曲线上的任意两个不同的点，P()是弦AB的中点。

由以上几式可得：。可转化为，即。

结论3：抛物线上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和坐标原点连线的斜率之积为(为弦中点的横坐标)。

证明：设原点为O，A()，B()为上任意两个不同的点，P()为弦AB中点。

可得：

两边同除以()得：

即得：。

解决圆锥曲线中有关弦的斜率与中点坐标问题时，用“设而不求，代点作差”解题较麻烦，运用上述结论解题，简捷快速。

例1、求中心在原点O，一焦点为(0，)，截直线所得弦的中点横坐标为的椭圆的方程。

解：设与椭圆交于A()，B()，AB中点为P()，。P()在上得，由上述结论知，而。

所以。由题意知。

解得，故椭圆方程为。

例2、求与椭圆相交于A、B两点并且线段AB中点为(1，1)的直线方程。

解：设原点为O，A()，B()，AB中点坐标为P(1，1)。

由上述结论知，而，所以。

所求直线方程为。

例3、已知双曲线，求以A(2，1)为中点的弦的方程。

解：设原点为O，M()，N()，则所求直线斜率，，。

由结论知，而，所以。

所求直线方程为，即。

例4、双曲线中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线与双曲线交于M、N两点，MN中点P的横坐标为，求双曲线方程。

解：设原点为O，因为一个焦点为F(，0)，所以可设双曲线方程为(a>b，b>0)。

MN中点P在上，得。

的斜率为1，而，所以。

又因为，所以，。

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则双曲线方程为。

例5、直线与抛物线交于A、B两点，AB中点横坐标为2，则k的值为( )

A. -1

B. 2

C. -1或2

D. 以上都不是

解：设原点为O，AB中点为P()，则。M()在-2上，则。而，即，解得(不符合题意舍去)或。故选B。