19.(12分)

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点.

(1)证明：直线平面PAB;

(2)点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值.

答案

(1)见解析; (2)

解析

(1)令中点为，连结，，.

∵，为，中点，∴为的中位线，∴.

又∵，∴.

又∵，∴，∴.

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∴四边形为平行四边形，∴.

又∵，∴

(2)取中点，连，由于为正三角形

∴又∵平面平面，平面平面

∴平面，连，四边形为正方形。

∵平面，∴平面平面

而平面平面

过作，垂足为，∴平面

∴为与平面所成角，

∴在中，，∴，

设，，，

∴，∴

在中，，∴

∴，，

以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，

设平面的法向量为，，∴

∴，而平面的法向量为

设二面角的大角为(为锐角)

∴

考查方向

直线与平面平行的判定与性质，二面角的求法

解题思路

(1)取中点为，连结，，由题意证得，利用线面平行的判定定理即可得结论;(2)建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量，，然后利用空间向量的结论可求得二面角的余弦值.

易错点

寻求面的法向量