20.(12分)

途广技学-限软上东慧件升科公司a6be优元网4e0b有 已知抛物线C：y²=2x，过点(2,0)的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.

(1)证明：坐标原点O在圆M上;

(2)设圆M过点，求直线l与圆M的方程.

答案

(1)证明略;(2)见解析

解析

(1)设由

可得

又=4

因此OA的斜率与OB的斜率之积为

所以OA⊥OB，

故坐标原点O在圆M上.

(2)由(1)可得.

故圆心的坐标为，圆的半径.

由于圆过点，因此，故，

即，

由(1)可得.

所以，解得或.

当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.

当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.

考查方向

点与圆、直线与圆、直线与抛物线的位置关系

解题思路

(1)设出点的坐标，联立直线与圆的方程，由斜率乘积为-1，可得OA⊥OB，即得结论;(2)结合(1)的结论求得实数m的值，分类讨论即可求得直线l的方程和圆M的方程

易错点

用根与系数的关系研究直线与圆锥曲线和关系