所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。

下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。

一、“添舍”放缩

通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。

例1、设a，b为不相等的两正数，且a³-b³=a²-b²，求证。

证明：由题设得a²+ab+b²=a+b，于是(a+b)²>a²+ab+b²=a+b，又a+b>0，得a+b>1，又ab<(a+b)²，而(a+b)²=a+b+ab<a+b+(a+b)2，即(a+b)²<a+b，所以a+b<，故有1<a+b<。

例2、已知a、b、c不全为零，求证：

证明：因为，同理。

所以

二、分式放缩

一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。

例3、已知a、b、c为三角形的三边，求证：。

证明：由于a、b、c为正数，所以，所以，又a，b，c为三角形的边，故b+c>a，则为真分数，则，同理，故.

综合得。

三、裂项放缩

若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。

例4、已知n∈N*，求。

证明：因为，则，证毕。

例5、已知n∈N*且，求证：对所有正整数n都成立。

证明：因为，所以，又，

所以，综合知结论成立。

优是91831b97慧4cfe网东有895b上件方学b0b1技科元是途限点9b0a量广bd3e公4c01习司-4c5c0d0a软费高843c升31ec上秀8528

四、公式放缩

利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。

例6、已知函数，证明：对于且都有。

证明：由题意知

，又因为且，所以只须证，又因为所以。

例7、已知，求证：当时。

证明：

证毕。

五、换元放缩

途0b51f135技元是软费高843c司有895b上bbf249ce-4c5c0d0a慧4cfe4621网件方学b0b1优是91831b97科高东be0d点公4c01习秀点升31ec上秀8528限点9b0a量广bd3e

对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。

例8、已知，求证。

证明：因为，所以可设，，所以则，即。

例9、已知a，b，c为△ABC的三条边，且有，当且时，求证：。

证明：由于，可设a=csina，b=ccosa(a为锐角)，因为，，则当时，，，

所以。

六、单调函数放缩

根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。

例10、已知a，b∈R，求证。

证明：构造函数，首先判断其单调性，设，因为，所以，所以在上是增函数，取，，显然满足，

所以，

即。证毕。