一、函数对称问题

问题1：如果对函数定义域内的任意一个x值，都有，则函数的图象关于直线对称。

证明：设P(m，n)为函数图象上任一点，则点P关于直线的对称点为。由，显然点也在函数上，可知函数的图象关于直线对称。

问题2：如果a、b是实数，则函数的图象与函数的图象关于直线对称。

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证明：设P(m，n)为函数图象上任一点，则。点P(m，n)关于直线的对称点为，由，说明点P在函数的图象上。反之亦然，所以函数的图象与函数的图象关于直线对称。

总结：问题1是一个函数图象自身的对称关系，而问题2是两个函数图象之间的对称关系。问题1可理解为自变量相加除以2(即)，问题2可理解为自变量相等解方程(即由，得)。

二、函数奇偶关系问题

问题3：如果函数(a为不等于0的常数)是奇函数，则对定义域内任意x值，都有。

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如果函数(a为不等于0的常数)是偶函数，则对定义域内任意x值，都有。

证明：设P(m，n)为函数图象上任一点，则，点P关于原点O的对称点为。因为函数是奇函数，所以点也在函数的图象上，于是，从而有。由点P的任意性，可知对定义域内任意x值，都有。

同理可证明函数(a为不等于0的常数)是偶函数，则对定义域内任意x值，都有。

总结：函数的奇偶性是专指定义域内的自变量x而言，所以同学们很容易得到或，这明显是错误的，大家要注意。

三、反函数问题

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问题4：若函数存在反函数，则。

问题5：若函数存在反函数，则。

证明：对于问题4，设P(m，n)为函数图象上任一点，则。由函数存在反函数，得，于是。由点P(m，n)的任意性可知，对于定义域内的任意x，都有。

对于问题5，同理可以证明函数存在反函数，则。

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总结：对于问题4与问题5，同学们往往会误认为“”。事实上，对于问题4，中的x是原函数定义域中的x，而对于问题5，中的x是原函数值域中的x，在严格意义下不一定等于。例如对于函数，有，若取，显然有，而此时无意义。