1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：(1)向量一般用有向线段表示
同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
(2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。
运算律：⑴加法交换律：
⑵加法结合律：
⑶数乘分配律：
3. 共线向量。
(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，
平行于
，记作
。
当我们说向量、共线(或//)时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。
(2)共线向量定理：空间任意两个向量、(≠
)，//存在实数λ，使=λ。
4. 共面向量
(1)定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
(2)共面向量定理：如果两个向量、不共线，
与向量、共面的条件是存在实数
使
。
5. 空间向量基本定理：如果三个向量
不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组
，使
。
若三向量不共面，我们把
叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设
是不共面的四点，则对空间任一点
，都存在唯一的三个有序实数，使
。
6. 空间向量的直角坐标系：
(1)空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系
中，对空间任一点
，存在唯一的有序实数组
，使
，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作
，
叫横坐标，
叫纵坐标，
叫竖坐标。
(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为
，这个基底叫单位正交基底，用
表示。
(3)空间向量的直角坐标运算律：
①若
，
，则
，
②若
，
，则
。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
(4)模长公式：若
则
(5)夹角公式：
。
元东术方升4ed7b97b0dcce54a技481e08f378a0件449f途是高学有广法上网0db0科af78161c司64e69baa根限径慧b676-方优软根b75e公
(6)两点间的距离公式：若
则
，
或
7. 空间向量的数量积。
(1)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量
，在空间任取一点O，作
，则
叫做向量
与
的夹角，记作
;且规定
，显然有
;若
，则称与互相垂直，记作：
。
(2)向量的模：设
，则有向线段
的长度叫做向量的长度或模，记作：
。
(3)向量的数量积：已知向量，则
叫做的数量积，记作
，即=
。
(4)空间向量数量积的性质：
①
。②
。③
。
(5)空间向量数量积运算律：
①
。②
(交换律)。
③
(分配律)。
【典型例题】
例1. 已知平行六面体ABCD-
，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。
⑴
; ⑵
;
⑶
; ⑷
。
解：如图：
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⑴
;
⑵
;
⑶设M是线段
的中点，则
;
⑷设G是线段
的三等分点，则
。
向量
如图所示。
例2. 对空间任一点O和不共线的三点
，问满足向量式：
(其中
)的四点
是否共面?
解：∵
，
∴
，
∴
，∴点
与点共面。
例3. 已知空间四边形
，其对角线
，
分别是对边
的中点，点
在线段
上，且
，用基底向量
表示向量
。
解：
=
。
∴
。
例4. 如图，在空间四边形
中，
，
，
，
，
，
，求
与
的夹角的余弦值。
解：∵
∴
。
。
。
慧b676446992b1学c21d心-方法秀升4ed7b97b0dcce54abb57软根b75eaaed7460件449f心47baab14科af78161cb7e3技481e08f378a05687秀上司64e69baa根途是高东术方元优学公41fb限径网0db001608277高有秀广法上
∴
，
所以，与的夹角的余弦值为
。
说明：由图形知向量的夹角易出错，如
易错写成
，切记!
例5. 长方体
中，
，
为
与
的交点，
为
与
的交点，又
，求长方体的高
。
分析：本题的关键是如何利用
这个条件，在这里可利用
将其转化为向量数量积问题。
解：∵
，
∴
。
。
∴
。
∴
，∴
，
所求高
。