高中数学——空间中的平行关系

2018年05月15日 浏览:

第一部分

摩拳擦掌

一 线线平行的判定方法

线线平行是证明线面平行、面面平行的基础,是联系线面平行、面面平行的纽带,所以学会证明线线平行是非常重要的.线线平行有哪些常用的判定方法呢,大家和我一起回忆一下吧:

一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行?线线平行”)

如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.

二 线面平行的判定定理和性质定理

证明线面平行的常用方法:

(1)利用定义(常用反证法);

(2)线面平行的判定定理:

平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为“线线平行?线面平行”).

不一定,如果这条直线在平面内,它可以和平面内的无数条直线平行,它也不能和这个平面平行,所以说平行线不在多,有一条足矣,但是必须是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行.

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三 面面平行的判定定理和性质定理

证明面面平行的常用方法:

(1)利用定义(常用反证法);

(2)面面平行的判定定理:

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行?面面平行”)


如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行.

应用判定定理时,注意由“低维”到“高维”:

“线线平行”?“线面平行”?“面面平行”;

应用性质定理时,注意由“高维”到“低维”:

“面面平行”?“线面平行”?“线线平行”

只有从高维到低维,然后从低维再到高维地去思考,才能够对平行关系有深入的理解,才能够对它们进行灵活应用.

第二部分

大显身手

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有了线线平行、线面平行、面面平行的判定和性质这样的秘密武器,让我们在实战中发挥它的作用吧.

1线线平行的证明

例1

【注意】在空间中,只有两直线共面,才能讨论两直线是否平行.

例2

名师寄语:证明线线平行,可以运用平行公理、中位线定理,也可以证明包含这两边的四边形是平行四边形,或者运用线面平行的性质定理来证明.

2线面平行

例3

名师寄语:本题利用了三角形重心把中线三等分的性质,以及相似三角形的判定与性质,注意分析条件添加合适的辅助线,还要注意线面平行的条件.

3面面平行

例4

名师寄语:证明面面平行时,要严格按照面面平行判定定理的条件去证明.

司广法西网西4842西d7765c71科b1eb径-9c805a81径fa3a9d06途升4cd8490e秀c5bdadd44a63上慧d937717f限bb1b径有心方软的bc59优公学b28a元术b09b学fa542c3a件费的东c1b9技4e83 4与平行有关的开放性、探究性问题

例5

名师寄语:平行关系中的探索性问题,主要是对点的存在性的探索,一般用转化方法求解,即先确定点的位置,把探索问题转化为证明问题,而证明线面平行时又有两种转化方法,一是转化为线线平行,二是转化为面面平行.当然基础是掌握线线平行、线面平行、面面平行的判定定理及其性质.

本文介绍了空间中平行关系的判定和证明的方法,同学们应学会线线平行、线面平行、面面平行的相互转化,通过几个例题的巩固训练,相信热爱学习的你已知完全掌握了,并且深深地爱上了立体几何中的证明题.