16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.

(I)求证：M为PB的中点;

(II)求二面角B-PD-A的大小;

(III)求直线MC与平面BDP所成角的正炫值。

答案

(1)见解析 (2)

(3)

解析

(1)取、交点为，连结.

∵面

面面

∴

在中，为中点

∴为中点

(2)方法一：

取中点为，中点为，连结，

∵，∴

又面面

面面

∴面

以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标

可知，，，

易知面的法向量为

且，

设面的法向量为

可知

∴

网方慧a24e8413b8e3公是有9bca软9c2b秀科学元-学东技限件途广智b202升司优

由图可知二面角的平面角为锐角

∴二面角大小为

方法二：

过点作，交于点，连结

∵平面，∴，

∴平面，∴，

∴即为二面角的平面角

∴

(3)方法一：

点，

∴

由(2)题面的一个法向量

∴

方法二：

记，取中点，连结，，

取中点，连，易证点是中点，∴

∵平面平面，，

∴平面

∴平面

连结，，

∴

∵，，，由余弦定理知

∴，∴

设点到平面的距离为，

又，求得

记直线与平面所成角为

∴

考查方向

本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题

解题思路

(1)设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点;

(2)取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD.以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B-PD-A的大小;

(3)求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值.

易错点

空间角的求解往往与几何体的结构特征综合在一起进行考查，所以应该首先考虑定义法，即利用定义作出空间角的平面角，然后再求解。作出线面角与二面角的平面角大多要利用直线和平面垂直，所以首先要结合几何体的结构特征，寻找线面垂直关系，如果几何体中的线面垂直关系比较明显，可直接利用定义法去求解;如果线面垂直关系不明显，则可以考虑利用向量法求解。