2017年高考天津卷(理数)-椭圆与抛物线的定义与性质

2018年05月02日 浏览:
2017年高考天津卷

19.设椭圆的左焦点为,右顶点为,离心率为.已知是抛物线的焦点,到抛物线的准线的距离为.

(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;

(II)设上两点关于轴对称,直线与椭圆相交于点(异于点),直线轴相交于点.若的面积为,求直线的方程.

答案

(1).   (2),或.

解析

(Ⅰ)解:设的坐标为.依题意,,解得,于是.

所以,椭圆的方程为,抛物线的方程为.

(Ⅱ)解:直线l的方程为x=﹣1,设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),

联立方程组,解得点P(﹣1,﹣),故Q(﹣1,).

联立方程组,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0,或y=﹣.

∴B().

∴直线BQ的方程为()(x+1)﹣()(y﹣)=0,

令y=0,解得x=,故D(,0).

∴|AD|=1﹣=.

又∵△APD的面积为,∴×=

整理得3m2﹣2|m|+2=0,解得|m|=,∴m=±.

所以,直线的方程为,或.

考查方向

本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质,直线与椭圆的位置关系,属于中档题.

解题思路

(I)根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a,b,p即可得出方程;

(II)设AP方程为x=my+1,联立方程组得出B,P,Q三点坐标,从而得出直线BQ的方程,解出D点坐标,根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案.

易错点

解决直线与圆锥曲线位置关系时,常规的方法是设出直线方程,然后与圆锥曲线方程联立,转化为方程的根与系数间的关系问题求解,因此应注意以下几个问题①所设直线的斜率是否存在,②消元后的方程是否为一元二次方程,③一元二次方程是否有实根

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