19.设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.

(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;

(II)设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点(异于点)，直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.

答案

(1)，.   (2)，或.

解析

(Ⅰ)解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是.

所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.

(Ⅱ)解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1(m≠0)，

联立方程组，解得点P(﹣1，﹣)，故Q(﹣1，).

联立方程组，消去x，整理得(3m²+4)y²+6my=0，解得y=0，或y=﹣.

∴B(，).

∴直线BQ的方程为(﹣)(x+1)﹣()(y﹣)=0，

令y=0，解得x=，故D(，0).

∴|AD|=1﹣=.

又∵△APD的面积为，∴×=，

整理得3m2﹣2|m|+2=0，解得|m|=，∴m=±.

所以，直线的方程为，或.

考查方向

本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题.

解题思路

(I)根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程;

(II)设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案.

易错点

解决直线与圆锥曲线位置关系时，常规的方法是设出直线方程，然后与圆锥曲线方程联立，转化为方程的根与系数间的关系问题求解，因此应注意以下几个问题①所设直线的斜率是否存在，②消元后的方程是否为一元二次方程，③一元二次方程是否有实根

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