19.设椭圆的左焦点为
,右顶点为
,离心率为
.已知
是抛物线
的焦点,
到抛物线的准线
的距离为
.
(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(II)设上两点
,
关于
轴对称,直线
与椭圆相交于点
(
异于点
),直线
与
轴相交于点
.若
的面积为
,求直线
的方程.
答案
(1),
. (2)
,或
.
解析
(Ⅰ)解:设的坐标为
.依题意,
,
,
,解得
,
,
,于是
.
所以,椭圆的方程为,抛物线的方程为
.
(Ⅱ)解:直线l的方程为x=﹣1,设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),
联立方程组,解得点P(﹣1,﹣
),故Q(﹣1,
).
联立方程组,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0,或y=﹣
.
∴B(,
).
∴直线BQ的方程为(﹣
)(x+1)﹣(
)(y﹣
)=0,
令y=0,解得x=,故D(
,0).
∴|AD|=1﹣=
.
又∵△APD的面积为,∴
×
=
,
整理得3m2﹣2|m|+2=0,解得|m|=
,∴m=±
.
所以,直线的方程为
,或
.
考查方向
本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质,直线与椭圆的位置关系,属于中档题.
解题思路
(I)根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a,b,p即可得出方程;
(II)设AP方程为x=my+1,联立方程组得出B,P,Q三点坐标,从而得出直线BQ的方程,解出D点坐标,根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案.
易错点
解决直线与圆锥曲线位置关系时,常规的方法是设出直线方程,然后与圆锥曲线方程联立,转化为方程的根与系数间的关系问题求解,因此应注意以下几个问题①所设直线的斜率是否存在,②消元后的方程是否为一元二次方程,③一元二次方程是否有实根
公件技8d5d司科学2a49有网得慧软8db0途得东a25c8510心广304f61ee秀-优升限元