20.设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4.

(1)求直线AB的斜率;

(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程.

答案

(1)1;(2)y=x+7

解析

(1)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则，，，x₁+x₂=4，

于是直线AB的斜率.

(2)设，则C在M处的切线斜率

∴则，又AM⊥BM，

即

又设AB：y=x+m

代入

得

∴，

-4m+8+20=0

∴m=7

故AB：y=x+7

考查方向

本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题.

解题思路

(1)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，运用直线的斜率公式，结合条件，即可得到所求;

(2)设，求出的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m，即有M的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得x₁，x₂的关系式，再由直线AB：y=x+m与联立，运用韦达定理，即可得到m的方程，解得m的值，即可得到所求直线方程.

易错点

求与抛物线有关的最值问题常见题型及方法：

① 具备定义背景，可用定义转化为几何问题来处理;

② 不具备定义背景，可由条件建立目标函数，然后利用求函数最值的方法来处理。

在这两类题型中，定点的位置尤为重要，处理不当就会出错。