直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离。

(1)直线与椭圆的位置关系。

设直线L方程是：,椭圆方程是，则由消去y：得(*)

设方程(*)的判别式

(i)若方程(*)有两不等实根直线L与椭圆相交直线与椭圆有两个不同的公共点。

(ii)若方程(*)有两个相等的实根直线L与椭圆相切直线与椭圆只有一个公共点。

技学广优途件司心慧限3259dbf8科-有元a155东软公升网 (iii)若方程(*)无实根直线L与椭圆相离直线与椭圆无公共点。

(2)直线与双曲线的位置关系

设直线L：，双曲线方程：

当直线L与双曲线的渐近线平行时：直线L与双曲线相交有一个公共点或没有公共点。

当直线L与双曲线的渐近线不平行时：

消去y得关于x的方程：(*)

若方程(*)有两不等实根直线L与双曲线相交直线与双曲线有两个不同的公共点。

若方程(*)有两个相等的实根直线L与双曲线相切直线与双曲线只有一个公共点。

若方程(*)无实根直线L与双曲线相离直线与双曲线无公共点。

注：当直线L与双曲线只有一个公共点时，直线L与双曲线可能相交，也可能相切。

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(3)设直线L： ,设抛物线方程为

若直线L与抛物线的对称轴平行或重合时，直线L与抛物线相交有一个交点

若直线L与抛物线的对称轴不平行或不重合时：

消去y得：(*)

若方程(*)有两不等实根直线L与抛物线相交直线与抛物线有两个不同的公共点。

若方程(*)有两个相等的实根直线L与抛物线相切直线与抛物线只有一个公共点。

若方程(*)无实根直线L与抛物线相离直线与抛物线无公共点。

件根572ff1bf有慧-高升71d2软网途95d5优量广460a术东技学点0cdd方限3259dbf8科司心4ecf元a155公

注：当直线L与抛物线只有一个公共点时可能相交也可能相切。

例、已知双曲线，直线L:，讨论直线L与双曲线的公共点个数。

【思路分析】：当直线L的方程与双曲线方程组成方程组，消去y得到关于x的一元方程，(1)若直线L与双曲线的渐近线平行时 m=0,(2)当直线L与双曲线的渐近线不平行，然后讨论方程根的个数。

解：将②代入①得：

③

(i)当,方程2x=5,方程组有一解，此时直线L与双曲线相交，有一个公共点。(此时直线L与双曲线的渐近线平行)

(ii)当时，

科东法4c54升71d29934有学点0cdd方广460a术件根572ff1bf限3259dbf8司心4ecf优量慧7f88-高网法公技点4957量元a155软途95d5

时，方程组有两个解，直线L与双曲线有两个公共点。

若，即当时，方程组有一解，即直线L与双曲线有一个公共点。

若，即时，方程组无解，即直线L与双曲线无公共点。

综合上述：当时，直线L与双曲线只有一个公共点，

当时，直线L与双曲线有两个公共点。

当时，直线L与双曲线无公共点。