求二面角的基本方法是按二面角大小的定义，作出二面角的平面角，求出平面角的大小即可。但有些题目中没有给出两个面的交线，难以直接作出二面角的平面角。就这种情况给出若干种求解方法。

如图1，正三棱柱的各棱长都是1，M是棱的中点，求截面与底面ABC所成锐角二面角的大小。

图1

一、平移法

两个平行平面与第三个平面相交，所成的两个同向二面角相等。根据这个道理，可将二面角的一个面或两个面平移到适当的位置，使其相交，构成一个易求解的二面角。

解法1：如图2，取的中点D，AB的中点E，则平面DEC中的DE//，则面DEC，面DEC，从而面面DEC。这样，面与面ABC所成的锐二面角等于面DEC与面ABC所成的锐二面角，即二面角。

图2

由题设条件的正三棱柱，易知，，则是二面角的平面角。

在等腰中，。所以面与面ABC所成的锐二面角为。

二、补形法

将二面角的两个面延展，确定出两个面的交线，从而构成一个完整的二面角。

解法2：延长与AC，相交于点P，连结BP，则所求的二面角是(图3)

图3

在中，由，且，可得。

再由正，可得AC=BC=PC，则。

又。

所以是二面角的平面角。

由等腰，知。

三、射影法

设二面角的大小为，面内有一个面积为S的封闭图形，该图形在面内的射影面积为S'，则。利用这个结论，只要计算S和S'的值，就可求出二面角的大小。这种方法可以免去寻找二面角的平面角及其证明过程。

解法3：由正三棱柱的条件，可知是在底面内的射影。取的中点N，连结MN，易求得

则等腰的面积

，

等边的面积。

网b73f限97ef学是76b46afd68133707途广量e37923b9上软bb65优术有a546的点慧4131术科得司41f3公9d4cd32d-46344d17东技的元件升心习

设所求二面角的大小为，由

，得。

四. 向量法

设二面角的大小为，分别是平面和平面的法向量，则角与角<>相等或互补。所以。特别地，当为锐角时，。

解法4：以B为原点，与AC平行的直线为x轴，与AC垂直且相交的直线为y轴，为z轴，建立如图4所示的空间直角坐标系，知B(0，0，0)，M，。从而。

图4

设平面的法向量是，则由，有

取特值，可解得。所以。

显然可取平面ABC的一个法向量为。

设平面与平面所成锐角二面角为，由

，

得所求二面角的大小为。