性质1：原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域

在求原函数的反函数及反函数的定义域、值域的有关问题时，如能充分利用这条性质，将对解题有很大帮助。

例1.函数的反函数是( )

A.

B.

C.

D.

解析：这是一个分段函数，对分段函数求反函数要注意分段求解。由函数解析式可知当时，;时。由性质1，可知原函数的反函数在时，，则根式前面要有负号，故可排除A、B两项，再比较C、D，易得答案为C。

例2.若函数为函数的反函数，则的值域为________。

解析：常规方法是先求出的反函数，再求得的值域为。如利用性质1，的值域即的定义域，可得的值域为。

性质2：若是函数的反函数，则有。

从整个函数图象来考虑，是指与其反函数的图象关于直线对称;从图象上的点来说，是指若原函数过点，则其反函数必过点。反函数中的这条性质，别看貌不惊人，在解题中却有着广泛的应用。

例3.函数的反函数的图象与y轴交于点P(0，2)，如下图所示，则方程在[1，4]上的根是( )

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A.4

B.3

C.2

D.1

解析：利用互为反函数的图象关于直线对称，的图象与y轴交于点P(0，2)，可得原函数的图象与x轴交于点(2，0)，即，所以的根为，应选C。

例4.设函数的图象关于点(1，2)对称，且存在反函数，=0，则=_________。

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解析：由=0，可知函数的图象过点(4，0)，而点(4，0)关于点(1，2)的对称点为(-2，4)。由题意知点(-2，4)也在函数的图象上，即有，根据性质2，可得。

性质3：单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。

在定义域上的单调函数一定存在反函数，但在定义域上非单调函数未必没有反函数，或者说有反函数的原函数不一定是单调函数。如函数有反函数，但其在定义域上不是单调函数。

例5.函数在区间上存在反函数的充要条件是( )

A.

B.

C.

D.

解析：因为二次函数不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间或上是单调函数，而已知函数在区间上存在反函数，所以或者，即或，应选C。

例6.已知是定义在R上的单调递增函数，且有，试证明。

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证明：(反证法)假设存在，使得。

∵是定义在R上的单调递增函数，

∴由性质3知，也是R上的单调递增函数。

若，则，即，矛盾。同理，当时，也可推出矛盾，故假设不成立，则。

性质4：若是的反函数，则的反函数为，的反函数为。

证明：假设的反函数为，若，则，即，得。

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也就是说原函数向左平移a个单位，则反函数向下平移a个单位，其他情况可同理证明。

例7.设，函数的图象与的图象关于直线对称，求的值。

解析：∵函数的图象与的图象关于直线对称。

∴与互为反函数。

根据性质4，的反函数为。

∴，得。

例8.设定义域为R的函数、都有反函数，并且函数和的图象关于直线对称，若，求的值。

解析：由已知条件可知与互为反函数，根据性质4，的反函数为，可得。

∴。