向量的加减法离不开三角形，三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分。
结论1：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点O为△ABC的垂心。
证明：由
，得
，即
，所以
。同理可证
。故O为△ABC的垂心。
结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点O为△ABC的垂心。
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证明：由
，得
，所以
。同理可证
。容易得到
由结论1知O为△ABC的垂心。
结论3：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点G为△ABC的重心。
证明：由
，得
。设BC边中点为M，则
，所以
，即点G在中线AM上。设AB边中点为N，同理可证G在中线CN上，故点G为△ABC的重心。
结论4：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点G为△ABC的重心。
证明：由
，得
，得
。由结论3知点G为△ABC的重心。
结论5：若点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足
，则点P为△ABC的内心。
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证明：由于
，可得
。设与
同方向的单位向量为
，与
同方向的单位向量为
，则
。因为
为单位向量，所以向量
在∠A的平分线上。由
，知点P在∠A的平分线上。
同理可证点P在∠B的平分线上。
故点G为△ABC的内心。
结论6：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点O为△ABC的外心。
证明：因为
，所以
同理得
科47637676点公元41be46b108782fce学心慧司c69a9256法技心网ba3f费东490d限beed学908d软方广方心9cff升上途件49954b88得优术有4fa7780e8b05b29c秀-9e5b
由题意得
，所以
，得
。故点O为△ABC的外心。