函数奇偶性的定义为:设,如果对于任意
,都有
,则称函数
为偶函数;如果对于任意
,都有
,则称函数
为奇函数。
理解函数奇偶性的定义,可以得到以下四个方面的特性:
一、任意性
奇偶性定义中的及
对定义域中任意x均成立。
例1、设,
是R上的偶函数,求a的值。
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解:因为
即恒成立。整理为(
)(
)=0对任意x均成立,
所以。又因为
,所以
。
二、对称性
对于函数,有
为奇函数
的图象关于原点对称;
为偶函数
的图象关于y轴对称。
例2、把函数的图象向右平移
个单位,所得函数为偶函数,则
的最小值是( )
A. B.
C.
D.
解:依题意,为偶函数,其图象关于y轴对称。
因为对称轴方程为,且直线
是其中的一条对称轴,
又因为,所以
时,
的最小值是
,选(B)。
例3、已知定义在R上的偶函数在(
,0
上是减函数,若
,求不等式
的解集。
解:利用偶函数图象的对称性,画出函数的示意图(如图)。
观察图象知,不等式可化为
,即
或
。从而不等式的解集为
。
三、同值性
若是奇函数,则当自变量取互为相反数的一对值时,其函数值也是互为相反数;若
是偶函数,则当自变量取互为相反数的一对值时,其函数值相等。
例4、已知是定义在实数集上的奇函数,求函数f(x)的解析式。
解1:因为f(x)是奇函数,所以
即
解得,所以
解2:因为是定义在实数集上的奇函数,所以
,得
。所以
。
例5、已知是奇函数,函数
,且
,求
的值。
解:令。注意到
是奇函数,那么
所以是奇函数
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由
有,从而
四、穿越性
若是奇函数,则
中的负号可以穿越f,即
;若
是偶函数,则
中的负号不能穿越f,即
。
例6、设的定义域是R,(1)若
都是奇函数,求证:
是奇函数;(2)若
是偶函数,
是奇函数,求证:
是偶函数。
证明:(1)因为是奇函数,
所以负号能穿越f与g。这样,所以
是奇函数。
(2)因为f(x)是偶函数,是奇函数,所以负号能穿越g而不能穿越f。
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这样,,所以
是偶函数。