高中数学——奇偶性定义的四个特性

2018年09月04日 浏览:


函数奇偶性的定义为:,如果对于任意,都有,则称函数为偶函数;如果对于任意,都有,则称函数为奇函数。

理解函数奇偶性的定义,可以得到以下四个方面的特性:

一、任意性

奇偶性定义中的对定义域中任意x均成立。

例1、是R上的偶函数,求a的值。

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解:因为是R上的偶函数,所以对任意x均成立,

恒成立。整理为()()=0对任意x均成立,

所以。又因为,所以

二、对称性

对于函数,有为奇函数的图象关于原点对称;为偶函数的图象关于y轴对称。

例2、把函数的图象向右平移个单位,所得函数为偶函数,则的最小值是( )

A.  B.  C.  D.

解:依题意,为偶函数,其图象关于y轴对称。

因为对称轴方程为,且直线是其中的一条对称轴,

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所以

又因为,所以时,的最小值是,选(B)。

例3、已知定义在R上的偶函数在(,0上是减函数,若,求不等式的解集。

解:利用偶函数图象的对称性,画出函数的示意图(如图)。

观察图象知,不等式可化为,即。从而不等式的解集为

三、同值性

是奇函数,则当自变量取互为相反数的一对值时,其函数值也是互为相反数;若是偶函数,则当自变量取互为相反数的一对值时,其函数值相等。

例4、已知是定义在实数集上的奇函数,求函数f(x)的解析式。

解1:因为f(x)是奇函数,所以

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解得,所以

解2:因为是定义在实数集上的奇函数,所以,得。所以

例5、已知是奇函数,函数,且,求的值。

解:令。注意到是奇函数,那么

所以是奇函数

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,从而

四、穿越性

是奇函数,则中的负号可以穿越f,即;若是偶函数,则中的负号不能穿越f,即

例6、的定义域是R,(1)若都是奇函数,求证:是奇函数;(2)若是偶函数,是奇函数,求证:是偶函数。

证明:(1)因为是奇函数,

所以负号能穿越f与g。这样,所以是奇函数。

(2)因为f(x)是偶函数,是奇函数,所以负号能穿越g而不能穿越f。

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这样,,所以是偶函数。