（
2019年高考全国I卷
）
途8925升-元心4cb4学慧量bcf54102件智4302公司有ba89限西481410e7网东技广软科西费优
20. 已知函数
，
是
的导数.
(1)证明：在区间
存在唯一零点;
(2)若
时，
，求a的取值范围.
答案：
略
解答：
(1)由题意得
-430d技限西481410e7a3294967软司有ba89的东习费学公得网元心4cb4慧量bcf5410222bf件智4302途8925升秀广0940高科西费ce553e2f9ab552c7优
令
，∴
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，单调递减，
∴的最大值为
，又
,
∴
，即
，
司广0940高件智43026565慧量bcf5410222bf限西481410e7a3294967技软有ba89的东习费4408途8925b37c优公得学升秀学元心4cb4术网术科西费ce553e2f9ab552c7-430d
∴在区间存在唯一零点.
(2)令
，
∴
，
由(1)知在上先增后减，存在
，使得
，且
，
，
，
元心4cb4术9afd8c0c公得-430d5b55件智43026565广0940高上学慧量bcf5410222bf量升秀学径软心秀技优4947限西481410e7a32949679186b350科西费ce553e2f9ab552c74a16有ba89的1b5d2469的司得东习费4408途8925b37c网术
∴
在上先增后减，
，
，
，
当
时，在上小于0，
单调递减，
又
，则
不合题意，
当
时，即
，
时，
若
，
，在
上单调递增，在
上单调递减，
则
解得
，
而
解得
，故
，
件智4302656525b4限西481410e7a32949679186b350科西费ce553e2f9ab552c74a16高网术法根司得元心4cb4术9afd8c0c技有ba89的1b5d2469的公得升秀学径学-430d5b557c0f广0940高上优4947东习费44084454途8925b37c软心秀慧量bcf5410222bf量
若
，
，在
上单调递增，且
，
故只需
解得
;
若
，
，在
上单调递增，且，
故存在
时，
，不合题意，
综上所述，a的取值范围为
.