高中数学——立体几何中的最值问题的四种求法

2019年11月22日 浏览:

1. 用配方法求距离的最值

例1. 如图1,正方形ABCD、ABEF边长都是1,且平面ABCD、ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若。试求当a为何值时,MN的值最小。

图1

分析:此题的解题关键是想用含a的代数式表示距离,再用配方法求最值。

解:过M作,垂足为H,连结NH,如图1所示。

在正方形ABCD中,

所以

因为平面平面AE,

所以平面AE,即

因为

所以

由余弦定理求得

所以

时,,即M、N分别移到AC、BF的中点时,MN的值最小,最小值为

2. 结合实际找最值位置

例2. 在一张硬纸上,抠去一个半径为的圆洞,然后把此洞套在一个底面边长为4,高为6的正三棱锥上,并使纸面与锥面平行,则能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值是________。

图2

解:如图2所示,假设硬纸上的圆洞刚好卡在B'C'D'处。设正三棱锥的顶点A在平面BCD上的射影为A',在平面B'C'D'上的射影为O。

连结BA'、B'O并延长分别交CD、C'D'于E、E'点,则

平面平面BCD,

所以

又因为

所以

所以

即能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值是

3. 利用函数的有界性求体积最值

例3. 如图3,已知在中,平面ABC,于E,于F,,当变化时,求三棱锥体积的最大值。

图3

解:因为平面ABC

平面ABC,

所以

又因为

所以平面PAC,

平面PAC,

所以

所以平面PBC,即

EF是AE在平面PBC上的射影,

因为

所以

平面AEF。

在三棱锥中,

所以


因为

所以

因此,当时,取得最大值为

4. 合图形列方程求解

例4. 棱长为2cm的正方体容器盛满水,把半径为1cm的铜球放入水中刚好被淹没,然后再放入一个铁球,使它淹没水中,要使流出来的水量最多,这个铁球的半径应该为多大?

图4

解:过正方形对角线的截面图如图4所示。

设小球的半径为r。

所以

解得,为所求。