1. 用配方法求距离的最值
例1. 如图1,正方形ABCD、ABEF边长都是1,且平面ABCD、ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若。试求当a为何值时,MN的值最小。
图1
分析:此题的解题关键是想用含a的代数式表示距离,再用配方法求最值。
解:过M作,垂足为H,连结NH,如图1所示。
在正方形ABCD中,,
所以,
因为平面平面AE,
所以平面AE,即
。
因为,
所以
即,
,
由余弦定理求得。
所以
当时,
,即M、N分别移到AC、BF的中点时,MN的值最小,最小值为
2. 结合实际找最值位置
例2. 在一张硬纸上,抠去一个半径为的圆洞,然后把此洞套在一个底面边长为4,高为6的正三棱锥
上,并使纸面与锥面平行,则能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值是________。
图2
解:如图2所示,假设硬纸上的圆洞刚好卡在B'C'D'处。设正三棱锥的顶点A在平面BCD上的射影为A',在平面B'C'D'上的射影为O。
连结BA'、B'O并延长分别交CD、C'D'于E、E'点,则
平面平面BCD,
所以,
,
即。
又因为,
所以
又,
所以,
即能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值是。
3. 利用函数的有界性求体积最值
例3. 如图3,已知在中,
,
平面ABC,
于E,
于F,
,
,当
变化时,求三棱锥
体积的最大值。
图3
解:因为平面ABC
平面ABC,
所以
又因为,
所以平面PAC,
又平面PAC,
所以,
又,
所以平面PBC,即
。
EF是AE在平面PBC上的射影,
因为,
所以,
即平面AEF。
在三棱锥中,
,
所以,
因为,
所以
因此,当时,
取得最大值为
。
4. 结合图形列方程求解。
例4. 棱长为2cm的正方体容器盛满水,把半径为1cm的铜球放入水中刚好被淹没,然后再放入一个铁球,使它淹没水中,要使流出来的水量最多,这个铁球的半径应该为多大?
图4
解:过正方形对角线的截面图如图4所示。
设小球的半径为r。
在,
,
所以,
解得,为所求。