19. 已知抛物线C：y2=2px经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.
(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;
(Ⅱ)设O为原点，
，
，求证：
为定值.
【答案】(1) 取值范围是(-∞，-3)∪(-3，0)∪(0，1)
(2)证明过程见解析
【解析】分析：(1)先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据PA，PB与y轴相交，舍去k=3，(2)先设A(x1，y1)，B(x2，y2)，与抛物线联立，根据韦达定理可得
，
.再由
，
得
，
.利用直线PA，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简
可得结论.
优8a44技方元智有智软网公9a957efe限科司心途-学ac6ba10c东点广件慧升
详解：解：(Ⅰ)因为抛物线y2=2px经过点P(1，2)，所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x.
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).
由
得
.
依题意
，解得k<0或0
又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，-2).从而k≠-3.
所以直线l斜率的取值范围是(-∞，-3)∪(-3，0)∪(0，1).
(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由(I)知
，
.
直线PA的方程为y–2=
.
令x=0，得点M的纵坐标为
.
有智费司心升864a112b网ad3d元智慧件术优8a44cf1f法智西东点科3a9ac57d8539软技方公9a957efe-得限b4c8学ac6ba10c广途
同理得点N的纵坐标为
.
由
，
得
，
.
所以
.
所以
为定值.
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.