（ 2018年高考北京卷 ）

16. 如图，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2.

(Ⅰ)求证：AC⊥平面BEF;

(Ⅱ)求二面角B-CD-C₁的余弦值;

(Ⅲ)证明：直线FG与平面BCD相交.

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【答案】(1)证明见解析

(2) B-CD-C1的余弦值为

(3)证明过程见解析

【解析】分析：(1)由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，因此，最后根据线面垂直判定定理得结论，(2)根据条件建立空间直角坐标系E-ABF，设立各点坐标，利用方程组解得平面BCD一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果，(3)根据平面BCD一个法向量与直线FG方向向量数量积不为零，可得结论.

详解：解：(Ⅰ)在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

∵CC₁⊥平面ABC，

∴四边形A₁ACC₁为矩形.

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又E，F分别为AC，A1C₁的中点，

∴AC⊥EF.

∵AB=BC.

∴AC⊥BE，

∴AC⊥平面BEF.

(Ⅱ)由(I)知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1.

又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC.

∵BE平面ABC，∴EF⊥BE.

如图建立空间直角坐称系E-xyz.

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由题意得B(0，2，0)，C(-1，0，0)，D(1，0，1)，F(0，0，2)，G(0，2，1).

∴，

设平面BCD的法向量为，

∴，∴，

令a=2，则b=-1，c=-4，

∴平面BCD的法向量，

又∵平面CDC1的法向量为，

∴.

由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为.

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(Ⅲ)平面BCD的法向量为，∵G(0，2，1)，F(0，0，2)，

∴，∴，∴n与不垂直，

∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交.

点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.