（ 2018年高考天津卷 ）

19. 设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.

(I)求椭圆的方程;

(II)设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ，求k的值.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)或

【解析】分析：(Ⅰ)由题意结合椭圆的性质可得a=3，b=2.则椭圆的方程为.

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(Ⅱ)设点P的坐标为(x₁，y₁)，点Q的坐标为(x₂，y₂).由题意可得5y₁=9y₂.由方程组

可得.由方程组

可得.据此得到关于k的方程，解方程可得k的值为或

详解：(Ⅰ)设椭圆的焦距为2c，由已知知，

又由a²=b²+c²，可得2a=3b.由已知可得，，，

由，可得ab=6，从而a=3，b=2.

所以，椭圆的方程为.

(Ⅱ)设点P的坐标为(x₁，y₁)，点Q的坐标为(x₂，y₂).

由已知有y₁>y₂>0，故.

又因为，而∠OAB=，故.

途件学技44474dc0软司根0e5d广公-限ecb4习网8a4a慧升秀科量术东afba根优9a6c有元 由，可得5y₁=9y₂.

由方程组消去x，可得.

易知直线AB的方程为x+y–2=0，

由方程组消去x，可得.

由5y₁=9y₂，可得5(k+1)=，

两边平方，整理得，

解得，或.

所以，k的值为或

点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件;

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.