17. 如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°.

(Ⅰ)求证：AD⊥BC;

(Ⅱ)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;

(Ⅲ)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.

学2382-元24ed东网技升件途有广限4752法公软慧优秀司科【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ);(Ⅲ).

【解析】分析：(Ⅰ)由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC.

(Ⅱ)取棱AC的中点N，连接MN，ND.由几何关系可知∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.计算可得.则异面直线BC与MD所成角的余弦值为.

(Ⅲ)连接CM.由题意可知CM⊥平面ABD.则∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.计算可得.即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.

详解：(Ⅰ)由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC.

(Ⅱ)取棱AC的中点N，连接MN，ND.又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.

在Rt△DAM中，AM=1，故DM=.因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC.

在Rt△DAN中，AN=1，故DN=.

在等腰三角形DMN中，MN=1，可得.

所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为.

(Ⅲ)连接CM.因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=.又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD.所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.

在Rt△CAD中，CD==4.

在Rt△CMD中，.

所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.

点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.