导数是研究函数单调性、极值、最值、讨论函数图象变化趋势的重要工具。本文通过例题说明导数的一些应用。

1. 求切点坐标

例1. 曲线在P₀点处的切线平行直线，则P₀点的坐标为( )

A. (1，0)

B. (2，8)

C. (1，0)或(―1，―4)

D. (2，8)或(―1，―4)

解：因为，在P₀点处的导数

由，得

即

所以P₀(1，0)和P₀(―1，―4)

故选C

2. 求函数的单调区间

例2. 函数的单调递增区间是( )

A.

B.

C.

D.

解：因为

令，即

解得或

由于函数的定义域为

所以函数的单调递增区间为

故选C

3. 求函数的极值点

例3. 函数的极值点是( )

A.

B.

C.或-1或0

D.

解：因为，在内任一点处都可导，所以它的极值点导数等于0，但要注意导数为0的点并不一定是极值点，必须考虑导数等于0的点的附近导数符号和函数的单调性。

由

由数轴标根示意图(图1)知，处导数为零，且其左右符号相反，故处取得极小值，选D。

4. 判断函数图象

例4. 设是函数的导数，的图象如图2所示，则的图象最有可能是( )

解：由导数的图象知，函数的极值点为x=0和x=2，且在x=0处左边导数为正，右边导数为负。

即x=0为极大值点;

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而在x=2处左边导数为负，右边导数为正

所以x=2为极小值点

观察图象知，C符合要求，

故选C

5. 求最值

例5. 已知a为实数，，若，求在[-1，2]上的最大值和最小值。

解：因为

由，得3+2a-4=0

所以

所以

由，得或

当x变化时，的变化情况如下表：

由此表可知

6. 求参数的取值范围

例6. 若函数在区间(1，4)内为减函数，且在区间(6，)内为增函数，试求参数a的取值范围。

解：

由，得或

当，即时

时，

所以在(1，)内递增，不合题意。

当，即时

时，

所以在(1，)内递减;

时，

所以f(x)在内递增。

又由已知得时，

时，

所以，即

7. 求函数解析式

例7. 已知时，f(x)有最大值3，最小值-29，求f(x)的解析式。

解：

当a=0时，有为常数函数。与已知矛盾，所以

(1)当时，

由

时，递增

时，递减

所以x=0时，f(x)有极大值

由函数连续性可知

又

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所以-16a+3=-29，则a=2

所以当a>0时，

(2)当a<0时，f(x)在x=0得取得极小值f(0)

由函数的连续性可知

又

所以-16a-29=3，所以a=-2

所以，当时，