（ 2018年高考江苏卷 ）

17. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为.

(1)用分别表示矩形ABCD和的面积，并确定的取值范围;

(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

【答案】(1)矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米，△CDP的面积为

1600(cosθ–sinθcosθ)，sinθ的取值范围是[，1).

(2)当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大

【解析】分析：(1)先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围;(2)根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.

详解：

解：(1)连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10.

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过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，

故OE=40cosθ，EC=40sinθ，

则矩形ABCD的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ)，

△CDP的面积为×2×40cosθ(40–40sinθ)=1600(cosθ–sinθcosθ).

过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10.

令∠GOK=θ₀，则sinθ₀=，θ₀∈(0，).

当θ∈[θ₀，)时，才能作出满足条件的矩形ABCD，

所以sinθ的取值范围是[，1).

答：矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米，△CDP的面积为

1600(cosθ–sinθcosθ)，sinθ的取值范围是[，1).

(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，

设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(k>0)，

则年总产值为4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ–sinθcosθ)

=8000k(sinθcosθ+cosθ)，θ∈[θ₀，).

设f(θ)= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，)，

则.

网径东方94e9元b079西科bdcc97a8学470d限96dfc697技西得法途西a5b211af公e8fd西件司广e845软得4f33优有b367升慧463a406d智f1a5cce6-习高 令，得θ=，

当θ∈(θ₀，)时，，所以f(θ)为增函数;

当θ∈(，)时，，所以f(θ)为减函数，

因此，当θ=时，f(θ)取到最大值.

答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题;二是利用数学内部的知识解决问题.