二项式系数可以组成许多有趣的组合恒等式，这些等式可以通过简捷的组合分析得到证明。

一、公式法

例1、求证：。

证明：由，，…，，，，整理即。

小结：运用基本组合数公式进行转换，如：，等是处理组合恒等式的常用方法，同时，在上述恒等式中，取n=1，2，…可以推出一系列新等式，如(1)由，得1+2+…+，(2)由得等，可见本题的结论具有示范作用。

二、二项式定理法

例2、求证：。

证明：因为，令，得，故。

小结：对二项式定理自身作乘法、赋值和求积等运算获得一些恒等式，根据二项展开式的特性，赋予x以不同的值，常能使问题迎刃而解。

三、倒序求和法

例3、求证：。

证明：令，故

，

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小结：恒等式可逆用二项式定理获求。

四、组合分析法

例4、求证：。

证明：构造等式左边的等价数学模型：m名男生n名女生，从中取n人参加数学竞赛可分为n+1类，男生0人、1人、…、n人，女生对应分别为n、n-1人、…，0人，共有选法为种，又由组合数定义知所求选法为种，命题成立。

小结：对等式两端所代表的组合含义进行分析，说明等式两端恰好是对同一组合模型进行计数，或是对已经建立一一对应关系的两个组合模型进行计数即得。

五、比较系数法

例5、求证：。

证明：由于，其中含有项的系数为。而，其中含有项的系数为，同时，故。

点评：由多项式恒等对应项系数相等获求。在本题中，对m，n，k取特殊关系有(1)时，;(2)时，等。

六、递推公式法

例6、求证：。

证明：设右边，则由恒等式得，故，整理即，而，故有。

小结：本题由递推关系及初始条件进行证明，其中数列的递推思想得到了体现。

七、求导法

例7、求证：。

证明：对两边的x求导得

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，上式两边乘以x后再求导得

，取得

，即证。

小结：导数是一个重要的数学工具，寻找原模型进行求导自然流畅。

八、概率法

例8、求证：。

证明：设一个袋子中有n个白球和n个黑球，从中任取n个，求P(A)=P(至少有一个白球)，一方面，不取白球的概率为，有P(A);另一方面，取到k个白球的概率为，故有P(A)=，同乘移项即证。

小结：概率法的关键是将组合模型建立在概率的背景之下。