二项式定理是初中多项式乘法公式的推广与延续，体现了二项展开式的指数、项数、二项式系数(或系数)等多方面的内在联系，而利用二项式系数的相关性质可以灵活解决许多问题。

一、对称性问题

例1、的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，试求这两项的二项式系数。

分析：利用题设中的条件，结合二项式性质“在二项展开式中，与首末两端等距离两项的二项式系数相等，即(其中)”就可以解决。

解析：根据题设，第4项与第8项的二项式系数相等，即，由组合数性质，得则展开式中的第4项与第8项的系数为.

总结：利用二项展开式的特点与组合数性质可得二项式系数的对称性，但注意到二项式系数、系数是两个不同的概念，二项式系数与二项展开式某一项的系数也不一定相同，因此二项展开式的字母系数不一定具有这一性质。

二、增减性与最大值问题

途有慧网习技学元广件ae9f优4b92科40d9升公司-软习上限东 例2、的二项展开式中，只有的系数最大，则__________.

分析：利用组合数可证明二项式系数的增减性(先增大后减小)和最大值性质，虽然本题是字母系数最大问题，但由于的系数与相应的二项式系数相同，所以解法相同。

解析：根据题意，二项展开式中只有的系数最大，而是展开式的6项，因此6项为展开式的中间项，则展开式共有11项，故.

总结：“二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大;二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数最大”，这是二项展开式中二项式系数的重要性质，解展开式中的系数最大问题时要特别关注二项式系数与字母系数的不同。

三、系数之和问题

例3、已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，由n等于________________ .

分析：二项展开式的各项二项式系数之和为;而令得二项式各项系数的和为，利用题设条件转化为方程问题解决。

解析：展开式中各项系数的和为，各项二项系数的和为，则，解得.

总结：“赋值法”是求二项展开式系数问题时常用的方法，但取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题时注意避免漏项等情况。

四、奇数项之和与偶数项之和问题

例4、__________________ .

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分析：“的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即”是二项展开式系数的重要性质，根据这一性质，本题可考察的展开式，利用“赋值法”研究奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和的关系来解决。

解析：在的展开式中，

令，则;

令，则;

所以.

总结：求各项系数和、奇数项系数和、偶数项系数和或差等问题时，也常用“赋值法”，常见的赋值是令等，它适用于恒等式，一般地，对于多项式的各项的系数的和为的奇数项的系数和为的偶数项的系数和为.