2018年高考天津卷(理数)-椭圆的方程

2019年05月10日 浏览:
2018年高考天津卷

设椭圆(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B. 已知椭圆的离心率为,点A的坐标为,且.

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(I)求椭圆的方程;

(II)设直线l:与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ,求k的值.

【答案】(Ⅰ)设椭圆的焦距为2c,由已知有

又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,

,可得ab=6,从而a=3,b=2.

所以,椭圆的方程为.

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(Ⅱ)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).

由已知有y1>y2>0,故.

又因为,而∠OAB=,故.

,可得5y1=9y2.

由方程组消去x,可得.

易知直线AB的方程为x+y–2=0,

由方程组消去x,可得.

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由5y1=9y2,可得5(k+1)=

两边平方,整理得

解得,或.

所以,k的值为