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2018年高考天津卷
)
设椭圆(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B. 已知椭圆的离心率为
,点A的坐标为
,且
.
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(I)求椭圆的方程;
(II)设直线l:与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q. 若
(O为原点) ,求k的值.
【答案】(Ⅰ)设椭圆的焦距为2c,由已知有,
又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,,
,
由,可得ab=6,从而a=3,b=2.
所以,椭圆的方程为.
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(Ⅱ)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).
由已知有y1>y2>0,故.
又因为,而∠OAB=
,故
.
由,可得5y1=9y2.
由方程组消去x,可得
.
易知直线AB的方程为x+y–2=0,
由方程组消去x,可得
.
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由5y1=9y2,可得5(k+1)=,
两边平方,整理得,
解得,或
.
所以,k的值为或