离心率为 的椭圆被称做“黄金椭圆”，它有不少有趣的性质，本文约定椭圆方程为 (a>b>0)。

1. 若椭圆是黄金椭圆，则a，b，c成等比数列。

证明：因为椭圆为黄金椭圆，

所以即，

，故a，b，c成等比数列。

上述命题的逆命题也真。

事实上，由b²=ac及b²=a²-c²，得

a²-c²=ac，e²+e-1=0，

因为0<e<1，所以，故此椭圆为黄金椭圆。

2. 若椭圆为黄金椭圆，设A(a，0)，B(0，b)，F(-c，0)，则△ABF为直角三角形。

证明：在△ABF中，，

，

所以，

又 椭圆为黄金椭圆。

由性质1有 b²=ac，

所以

，

即 △ABF为直角三角形。

上述命题的逆命题也为真命题。

事实上，由△ABF为直角三角形，得

，

即(a²+b²)+(b²+c²)=(a+c)²，

所以，b²=ac。

故此椭圆为黄金椭圆。

3. 若椭圆是黄金椭圆，P、Q为椭圆上任意两点，M为线段PQ的中点，若PQ与OM的斜率存在，则 。

证明：设M(x₀，y₀)，P(x₀+m，y₀+n)，

则Q(x₀-m，y₀-n)，

于是k_OM=。

因为点P、Q在椭圆上，

所以，①

，②

①-②，得，

所以，

又 椭圆为黄金椭圆，

所以b²=ac，

。

上述命题的逆命题也成立。

事实上，由上得知

，

所以 b²=ac，

故此椭圆为黄金椭圆。

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4. 若椭圆是黄金椭圆，P为椭圆上任意一点，P在x轴上的射影为M，椭圆在P点的法线交x轴于N，则 。

证明：设P(x₀，y₀)。

将b²x²+a²y²=a²b²两边对x求导，得

2b²x+2a²y·y'=0，

所以。

即椭圆在点P的法线的斜率，

故点P的法线方程为

y-y₀=。

令y=0，得，

又，

所以。

又 椭圆为黄金椭圆，

所以。

上述命题的逆命题也成立。

事实上，由上可知，

所以。

故此椭圆为黄金椭圆。

5. 若椭圆是黄金椭圆，设A₁(-a，0)，A₂(a，0)，B₁(0，-b)，B₂(0，b)，则菱形A₁B₁A₂B₂的内切圆过焦点。

证明：设A₂B₂：，即

bx+ay=ab。

又点(0，0)到直线bx+ay=ab的距离，

所以

，

故焦点在内切圆上。

上述命题的逆命题也成立。

事实上，由上知，将b²=a²-c²代入，化简得a⁴-3a²c²+c⁴=0，

所以e⁴-3e²+1=0。

因为0<e<1，所以故此椭圆为黄金椭圆。