证明不等式基本的方法有比较法、分析法、综合法、反证法等,除此之外我们也可以利用增量法来证明一些不等式,下面就增量法的几种变换技巧及使用类型加以阐述。
类型一:当a+b=m(m为常数)时,可令,其中t为增量来证明。
例1、设x,y均为正数,且x+y=1,求证。
证明:由x+y=1,可设,不妨设
,则
。
。
当且仅当t=0,即时取得等号。
例2、已知a,b,,且a+b+c=1,求证
。
证明:设x,y,,则:
,则x+y+z=0。
。
当且仅当x=y=z=0,即时等号成立。
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类型二:当a>b时,可令a=b+t,且例3、已知a>b>0,求证。
证明:因为a>b>0,所以可令a=b+t,且。
。
即。
推广:当a>b>c,可令a-b=x,b-c=y,a-c=x+y,其中x,为增量。
例4、已知a>b>c>0,求证。
证明:令a-b=x,b-c=y,a-c=x+y,其中x,y>0,则
。
∵,
∴。
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当且仅当x=y,即a=b=c时等号成立。类型三:利用比例系数增量来证明,如a>b>0时,我们可令,其中
。如a+b+c=1时,令
,
。
例5、已知a>b>0,求证。
证明:由可设
,其中
。
。
∵,
∴。
∴。
即从而
。